1. Feladat: Az alábbi halmazok az alábbi műveletre nézve milyen struktúrát alkotnak?

    1. {a sík vektorai}    vektorok összeadása
    2. {a+bi e C I a e Z és a+bi=/0}     a komplex számok szorzása
    3. oABCS
      ASCBA
      BCSAB
      CBASC
      SABCS


  2. Feladat: A (mod 6) maradékosztályok halmaza az összeadásra nézve milyen struktúrát alkot?

    1. Ha véletlenül ez a struktúra Abel-csoport, akkor adjuk meg a részcsoportjait!
    2. Adjuk meg ezekhez a részcsoportokhoz tartozó mellékosztályokat!


  3. Feladat: A hétnél nem nagyobb pozitív egész számok halmazán értelmezett T permutáció transzpozíciók szorzatára bontható a következőképpen:
    T=<1,2><1,3><2,3><2,3><2,4><5,6><5,7>
    1. Adjuk meg T hozzárendelési szabályát!
    2. Adjuk meg T inverzióinak számát!
    3. Adjuk meg T inverzét!
    4. Bontsuk idegen ciklusok szorzatára a T inverzét!
    5. Bontsuk transzpozíciók szorzatára a T inverzét!


  4. Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi halmazok a megadott műveletekre nézve gyűrűt alkotnak-e? Ha igen, vizsgáljuk meg, hogy van-e a gyűrűnek egységeleme, melyek a gyűrű zérusosztói, a gyűrű kommutatív-e és integeritás-tartomány-e?
    1. Az egész páros számok halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    2. A páros számok halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    3. Racionális-, valós-, komplex számok halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    4. Az egész-, racionális-, valós-, komplex együtthatós polinomok halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    5. Egy rögzített m(m nem= 0) egész számmal osztható egész számok halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    6. Az egész számok halmaza az összeadásra és a legnagyobb közös osztó képzésére nézve.
    7. A térbeli vektorok halmaza az összeadásra és a vektoriális szorzásra nézve.
    8. A valós számokból álló a1,a2,...,an,...
      alfa, konvergens sorozatok halmaza,
      béta, korlátos sorozatok halmaza,
      gamma, sorozatok halmaza,
      az összeadásra és szorzásra nézve.
    9. Az x=a (a tetszőleges, rögzített valós szám) helyen véges határértékkel rendelkező függvények halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    10. Az [a,b] intervallumban folytonos függvények halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    11. Az [a,b] intervallumban differenciálható függvények halmaza az összeadásra és szorzásra nézve.
    12. Az x+a=b (x,a,b mod n maradékosztályok) egyenlet gyökeinek a halmaza, az összeadásra és szorzásra nézve, ahol a és b maradékosztály végigfut a mod n maradékosztályok elemein.


  5. Feladat: Tekintsük az a+b 21/2 alakú számok halmazát, ahol a,b tetszőleges egész számok. A fenti számokat H-egészeknek nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a H-egészek halmaza az összeadásra és a szorzásra nézve integritástartományt alkot.

  6. Feladat: Tekintsük az a+bi alakú komplex számok halmazát, ahol a,b tetszőleges egész számok. A fenti számokat Gauss-egészeknek nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a Gauss-egészek halmaza az összeadásra és a szorzásra nézve integritástartományt alkot. A fenti gyűrűt Gauss-féle gyűrűnek is nevezik.

  7. Feladat:Tekintsük az a+b*i*51/2 alakú számok halmazát, ahol a,b tetszőleges egész számok. A fenti számokat L-egészeknek nevezzük. Mutassuk meg, hogy az L-egészek halmaza az összeadásra és szorzásra nézve kommutatív gyűrűt alkot. A fenti gyűrűt Dedekind-féle gyűrűnek is nevezik.

  8. Feladat:A z=a1+a2i+a3j+a4k alakú számok Q halmazát kvaternióknak nevezzük, ahol a1, a2, a3, a4 valós számok és l,i,j,k a kvaterniócsoport elemei. Legyen z1, z2 eleme Q, ahol z1=a1+a2i+a3j+a4k, illetve z2=b1l+b2i+b3j+b4k. Az összeadást és szorzást a következőképpen értelmezzük: z1+z2=(a1+b1)+(a2+b2)i+(a3+b3)j+(a4+b4)k, illetve z1z2=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)i+(a1b3-a2b4+a3b1+a4b2)j+ +(a1b4+a2b3-a3b2+a4b1)k. Bizonyítsuk be, hogy a kvaterniók halmaza a fenti összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkot.