MATEMATIKA

A matematika rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra, a felfedeztetés, az ötletes megoldások keresésére nevel. Így a követelményrendszernek a szükséges ismeretek, a gyakran használt eljárások felsorolásán túl tartalmaznia kell a gondolkodásra nevelés követelményeit is. Ezt szolgálja a "Gondolkodási módszerek alapozása", majd a késõbbiekben a "Gondolkodási módszerek" fejezet. A gondolkodási folyamatokban szerepe van a heurisztikának, a konstruktív gondolkodásnak, az analógiák használatának. A matematikának a gyakorlatban, a természet- és társadalomtudományokban való alkalmazhatóságát is látniuk kell a tanulóknak. Erre is történik utalás a követelményrendszerben. A matematika története igen sok érdekességgel és tanulsággal szolgál. Ezek szerepeltetése is jól motiválhatja a tanulókat.

A szöveges feladatok értelmezése, megoldása, egyszerû, rövid matematikai szövegek tanulmányozása hozzájárul az önálló tanulás kialakításához. A kellõen megértett fogalmak, az alapvetõ matematikai ismeretek megtanulása fejleszti az emlékezetet, az akaraterõt, erõsíti a munkában, a tanulásban való kitartást.

A matematikai megismerési módszerek elsajátítása lehetõséget ad a valóság és a matematika elemi kapcsolatainak felfedezéséhez.

A matematikatanítás nem hagyhatja figyelmen kívül, hogy

egyes tantárgyak bizonyos szinten viszonylag korán kívánnak alkalmazni alapvetõ matematikai ismereteket;

az azonos életkorú tanulók absztrakciós képessége igen eltérõ;

a matematikai fogalmak, összefüggések érlelése és a gondolkodásmód kialakítása önmagában is a spirális felépítést indokolja.

Így a követelményrendszerben a 4., a 6., a 8. és a 10. évfolyam végén bizonyos ismeretek s az általuk kialakítandó készségek újra megjelennek, természetesen mindenütt az életkornak megfelelõ szinten. Ezért a matematika fõfejezetei mind a négy szinten szerepelnek.

ÁLTALáNOS FEJLESZTéSI KöVETELMéNYEK

              1-6. évfolyam                7-10. évfolyam                             

1. Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása.
Fejlõdõ matematikai szemlélet
a) Gyakorlati tevékenységre épülõ, az      A) A bõvülõ számfogalom alkalmazása.       
életkornak megfelelõ számfogalom                                                      
használata.                                                                           
b) Biztos mûveletfogalom és számolási      B) A bevezetett új mûveletek               
készség az  alapmûveletek körében.         alkalmazása. 
A zsebszámológép felhasználása a mûveleteknél. c) Változó mennyiségek közötti C) Fejlõdõ függvényszemlélet. Függvények kapcsolatok. és függvénygrafikonok alkalmazása. d) Tevékenységre épülõ, egyszerû D) Geometriai transzformációk geometriai transzformációk használata. segítségével dinamikus geometriai szemlélet. e) Geometriai modellek segítségével E) A sík- és térgeometriai fogalmak fejlõdõ sík- és térgeometriai szemlélet. használata. f) A matematikai logika elemeinek (a F) A "ha...., akkor", az "akkor és csak "vagy", az "és", a "nem", késõbb a akkor" használata egyszerû, tanult "minden", a "van olyan") alkalmazása. esetben. g) A matematika elemi fogalmainak a G) A matematika fogalmainak, mindennapi életben való használata
(pl. összefüggéseinek alkalmazása a arány, százalék, grafikon). gyakorlatban és más tantárgyakban (pl. kamatszámítás, vektorok).
2. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában,
jártasság a logikus gondolkodásban
a) Fejlõdõ matematikai szövegértõ          A) Matematikai szövegek, szöveges          
képesség.                                  feladatok értelmezése, elemzése.           
b) Szöveg alapján nyitott mondatok         B) Többféle megoldás lehetõsége.
Fejlõdõ felírása. Ezeknek (módszeres) diszkussziós képesség. próbálkozással, majd algebrai úton történõ megoldása. c) Egyszerû gyakorlati mérések és C) A szemléletesen kialakult geometriai szerkesztések. mértékek (kerület, terület, felszín, térfogat) használata a gyakorlatban. d) A biztosan bekövetkezõ, a lehetséges, D) Egyszerû esetekben a valószínûség a lehetetlen események megkülönböztetése. szemléletes fogalmának alkalmazása.
3. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási mûveletek alkalmazása
a) Az ismeretszerzés induktív módjának     A) Az induktív módszer további             
alkalmazása.                               alkalmazása. Deduktív következtetések,     
                                           néhány lépéses bizonyítások.               
b) A mindennapi életbõl s a                B) Sejtések, szabályszerûségek             
matematikából vett egyszerû állítások      megfogalmazása.                            
igaz vagy hamis voltának eldöntése.                                                   
c) Megadott vagy választott szempont       C) Halmazszemlélet, elemi                  
szerinti csoportosítás, osztályozás.       halmazmûveletek a matematika különbözõ     
Néhány elem sorbarendezése, bizonyos       területein. Részhalmazképzés.              
feltételeknek eleget tevõ elemek                                                      
kiválasztása.                                                                         
d) Adatok gyûjtése, lejegyzése,            D) Adatsokaság elemzése, jellemzése,       
grafikonok készítése, értelmezése,         ábrázolása.                                
szabályszerûségek észrevétele.                                                        
e) A modellalkotás elemeinek alkalmazása   E) Szemléltetõ ábrák és modellek           
(pl. szöveges feladatokhoz ábrakészítés,   alkalmazása az algebrában,                 
fagráf használata).                        kombinatorikában.                          
f) Néhány lépéses elemi algoritmusok       F) Néhány lépéses algoritmusok készítése.  
alkalmazása.                                                                          

4. Helyes tanulási szokások
a) Kellõ pontosságú becslések számítások   A) Becslés, kerekítés, az eredmény         
és mérések elõtt.                          reális voltának eldöntése.                 
b) Számítások, mérések,                    B) Az ellenõrzés különbözõ módjainak       
feladatmegoldások helyességének            alkalmazása.                               
ellenõrzése.                                                                          
c) Az anyanyelv és a szaknyelv adott       C) A szaknyelv s a fokozatosan bõvülõ      
szinten elvárható, megfelelõ pontosságú    jelölésrendszer helyes alkalmazása.        
használata.                                                                           
d) A megértett és megtanult fogalmak és    D) A definíciók és tételek                 
eljárások eszközként való használata.      megkülönböztetése,  feladatokban való      
                                           alkalmazása.                               
e) Terv- és vázlatkészítés feladatokhoz,   E) A megértett összefüggések szabatos      
a megoldás leírása.                        leírása, a lényeg kiemelése.               
f) Tankönyvek és feladatgyûjtemények,      F) Matematikai szöveg olvasása             
statisztikai zsebkönyv használata.         kislexikonokból és enciklopédiákból is.    
g) Fejlõdõ vitakészség (érvelés,           G) A kommunikációs készség                 
cáfolás).                                  továbbfejlõdése az érvelésekben.           
h) Tapasztalatok gyûjtése a matematika     H) A matematika történeti fejlõdése;       
érdekességeirõl.                           magyar matematikusok.                      

A GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK ALAPOZÁSA
A valóság és a matematika    A megfigyelõképesség, a                                   
elemi kapcsolatainak         tudatos, tartós figyelem.                                 
kiépítése változatos         Megfigyelések, gondolatok                                 
matematikai tevékenységek    kifejezése                                                
során: összehasonlítás,      (tevékenységgel,                                          
szétválogatás, rendezés,     megmutatással, szóban,                                    
mérés, konstruálás,          írásban, jelekkel). 4c                                    
modellezés.                                                                            
Rendezés egy és két          Kapcsolatok felismerése,                                  
szempont szerint,            lejegyzése, a mérés                                       
mennyiségi tulajdonságok     lényegének megértése. 2c                                  
tudatosítására.                                                                        
                             Változatos matematikai                                    
                             tevékenységek során a                                     
                             különféle megoldások                                      
                             megbeszélése. 4g                                          
Matematikai problémák         Egyszerû szöveg                                          
ábrázolása. Elemek           értelmezése, lejegyzése,                                  
besorolása egymással         megoldási terv készítése.                                 
különféle kapcsolatban       2a; 4e                                                    
álló halmazokba, közös                                                                 
tulajdonságok megkeresése.                                                             
Tulajdonságok                Kapcsolatok felismerése,                                  
megfogalmazása (tagadással   adatok lejegyzése,                                        
is).                         megoldási terv készítése.                                 
                             1f; 2b                                                    
Halmazok jellemzése                                                                    
állításokkal. Nyitott                                                                  
mondatok igazsághalmazának                                                             
megkeresése véges                                                                      
alaphalmazon.                                                                          
Egyszerû kombinatorikai         Megadott vagy választott                               
feladatok; néhány elem               szempontok szerinti                               
sorba állítása,                           csoportosítás,                               
kiválasztás (táblázatba,           sorbarendezés. 3c; 3e                               
diagramba rendezéssel).                                                                

SZÁMTAN, ALGEBRA, SOROZATOK, FÜGGVÉNYEK
A természetes szám mint a    Számlálás (egyesével,        Biztos számfogalom a tízes   
halmazok számossága és       kettesével, ötösével,        számrendszerben, a           
mint mérõszám. A tízes       tízesével, ötvenesével,      tízezres számkörben. A       
számrendszer tudatos         százasával), mérés alkalmi   számok írása, olvasása       
használata, alaki érték,     és szabványos egységekkel    készségszinten.  A négy      
helyi érték. A számok        és többszöröseikkel,         alapmûvelet készségszintû    
nagyságviszonyai. A          megbízható becslõképesség.   használata. Számolás         
negatív szám és törtszám     1a; 2c; 4a Biztonságos       szóban a százas              
fogalmának szemléleti        tájékozódás a tízes          számkörben, analóg           
alapozása.                   számrendszerben és           eljárások az ezres és        
                             helyiértékrendszerben a      tízezres számkörben.         
                             tízezres számkörön belül.    Szorzás és osztás 10-zel,    
                             1a Törtszámok leolvasása     100-zal.                     
                             mérési eredményként,                                      
                             megjelenítése adott vagy                                  
                             választott egységek                                       
                             esetén: becslés, negatív                                  
                             számok megjelenítése                                      
                             különféle modellekkel. 1a;                                
                             4a                                                        

Mûveletek a természetes      Kijelölt mûvelet             Számolás írásban a           
számok körében (szóban és    megjelenítése kirakással,    tízezres számkörben.         
írásban), alapmûveletek      rajzzal; a várható           (Írásbeli szorzás egy- és    
értelmezése (manipulatív     eredmény becslése, a         kétjegyûvel, osztás          
tevékenységgel; két-két      számítások helyességének     egyjegyûvel.)  Számítások    
mûvelet kapcsolata           ellenõrzése. 1b; 4a,b A      ellenõrzése.                 
alapján, szöveges            mûveletvégzés mechanizmusa                                
feladatokkal).               készségszinten. 1b; 4d A                                  
                             becslés, kerekítés,                                       
                             önellenõrzés különbözõ                                    
                             módjai. 4a                                                
Matematikai                  Az adatok értelmezéséhez     Egyszerû, legfeljebb két     
szövegértelmezés és          szükséges alapfogalmak       mûvelettel leírható          
szövegkészítés. Szöveges     (több, kevesebb,             szöveges feladatok           
feladathoz, rajzhoz          ugyanannyi) biztos           megoldása önállóan,          
megfelelõ mûvelet            használata, megfelelõ        következtetéssel vagy        
felírása, értelmezése.       mûvelettel történõ           valamilyen modell            
                             kifejezése önállóan. 2a; 4b  segítségével.                
Sorozatok képzése és         Feladatmegoldás egyszerûbb                                
folytatása,                  esetekben önállóan (a                                     
függvénytáblázatok           szabály alkalmazásával),                                  
kitöltése, szabályjátékok.   nehezebb esetekben tanítói                                
                             segítséggel. 1c; 3a                                       

GEOMETRIA, MÉRÉS
Alakzatok elõállítása        Próbálgatás, tapasztalatok                                
másolással és adott          gyûjtése és értelmezése                                   
feltételek szerint.          alakzatok elõállításával.                                 
Egyszerû geometriai          1e                                                        
alakzatok                                                                              
(négyszög, téglalap,          Ráismerés, megnevezés. 4c   Az egyszerû geometriai       
négyzet, háromszög, kör)                                  alakzatok felismerése.       
tulajdonságainak                                                                       
megfigyelése.                                                                          
A négyzet, téglalap, kocka   A téglalap, téglatest                                     
és a téglatest               tulajdonságainak önálló                                   
legfontosabb tulajdonságai.  felsorolása, megmutatása                                  
                             konkrét esetekben. 1e                                     
Tapasztalatok gyûjtése        Tengelyesen tükrös                                       
egybevágó és hasonló         alakzatok felismerése. 1d                                 
alakzatokról, térbeli és                                                               
síkbeli tükrözésrõl,                                                                   
nagyításról és                                                                         
kicsinyítésrõl a                                                                       
négyzethálón.                                                                          
Becslések, mérések           Mérõeszközök és              Szabvány mértékegységek és   
választott és szabványos     mértékegységek ismerete és   átváltásuk gyakorlati        
egységekkel: hosszúság,      önálló használata            mérésekhez kapcsolódva.      
terület, tömeg,              gyakorlati mérések során.    Konkrét esetekben a          
ûrtartalom, idõ. A           2c Mérések elõtt becslés.    téglalap és négyzet          
téglalap kerületének és      Egyszerû esetekben önálló    kerületének mérése és        
területének mérése.          kiszámítás. 4a               számítása.                   

VALÓSZÍNÛSÉG, STATISZTIKA
Valószínûségi játékok        Tapasztalatszerzés,                                       
alapján a véletlen esetek    szemléleti alapozás                                       
gyakoriságának               konkrét valószínûségi                                     
megállapítása, a             játékok alapján. 2d                                       
lehetõségek ábrázolása.                                                                
Statisztikai adatok          Konkrét (statisztikai)                                    
gyûjtése, rendezése,         feladatokhoz kapcsolt                                     
ábrázolása, táblázatok és    tapasztalatszerzés.  1g; 3d                               
grafikonok olvasása,                                                                   
felhasználása számolási                                                                
eljárások gyakorlására.                                                                

GONDOLKODáSI MóDSZEREK
Változatos matematikai       Kapcsolatok felismerése,                                  
tevékenységek:               lejegyzése és a matematika                                
összehasonlítás, rendezés,   tanulási módjának                                         
mérés, konstruálás,          kialakítása. 4e                                           
modellezés; fogalmak,                                                                  
összefüggések                                                                          
megjelenítése.                                                                         
Az összehasonlításhoz,       Egyszerû állítások                                        
viszonyításhoz szükséges     igazságának eldöntése;                                    
kifejezések - egyenlõ,       tagadása. A nyelv logikai                                 
kisebb, nagyobb, több,       elemeinek helyes                                          
kevesebb, legalább,          használata matematikai és                                 
legfeljebb, nem, és, vagy,   nem matematikai tartalmú                                  
minden, van olyan, egyik     állítások értelmezésében,                                 
sem, nem minden -            megfogalmazásában. 1f; 3b                                 
értelmezése, használata.                                                               
Matematikai                  Szöveg elemzése,                                          
szövegértelmezés és          értelmezése, lefordítása a                                
szövegkészítés a tanuló      matematika nyelvére. 4d,f                                 
életkorának és               Adatok szétválasztása,                                    
ismereteinek megfelelõ,      lejegyzése, a megoldáshoz                                 
változatos szövegû           vezetõ utak áttekintése,                                  
feladatokban.                az eredmény meghatározása,                                
                             ellenõrzése, összevetése a                                
                             valósággal. 2a; 4b                                        
Halmazok eszköz jellegû      Konkrét dolgok (számok,                                   
alkalmazása.                 geometriai alakzatok,                                     
                             könyvek, más tantárgyakban                                
                             szereplõ fogalmak) adott                                  
                             szempontok szerinti                                       
                             rendezése, rendszerezése.                                 
                             Egyszerû halmazdiagramok                                  
                             készítése. 3c                                             
Részhalmazok kiválasztása,   Szemléletfejlesztés                                       
elemek sorbarendezése        ismert, áttekinthetõ,                                     
különbözõ témakörökhöz       konkrét halmazokkal,                                      
kapcsolódva (néhány adott    különféle módszerek -                                     
szó vagy könyv ábécérendbe   fadiagram, útdiagram,                                     
rendezése - kiválasztás      táblázatok -                                              
A-val kezdõdõvel és          alkalmazásával, a                                         
sorrendezés).                lehetõségek rendszerezett                                 
                             felsorolásával. 3f                                        

SZáMTAN, ALGEBRA
Természetes szám, egész      A tanult számokkal           A tízes számrendszer         
szám, ellentett, abszolút    kapcsolatos fogalmak         biztos ismerete: a tanult    
érték, tört, arány,          értelmezése a szemléletre    számok írása, olvasása,      
reciprok.  Egyszerûsítés,    támaszkodva. 1a              ábrázolása, nagyság          
bõvítés, tizedes tört.                                    szerinti rendezése.          
Alaki érték, helyi érték.                                                              
A számrendszer.                                                                        
A négy alapmûvelet           A gyakorlati élet és a       Írásbeli osztás kétjegyû     
fogalmának, a szóbeli,       többi mûveltségterület       osztó esetén. A négy         
írásbeli mûveleti            igényeihez is alkalmazkodó   alapmûvelet és a mûveleti    
eljárásoknak megerõsítése    számolási készség            sorrend ismerete és          
a természetes számok         kialakítása, a helyes        alkalmazása a nem negatív    
körében és kiterjesztése     mûveleti eljárások           számok halmazán  (a          
racionális számkörre.        alkalmazása. 1b A mûveleti   tizedes törtek és a          
Szorzás, osztás 10           tulajdonságok felismerése,   közönséges törtek körében    
hatványaival.  Kerekítés,    alkalmazása konkrét          is).                         
becslés.  Mûveleti           számításokban. 4d                                         
tulajdonságok vizsgálata.    Kerekítési, becslési                                      
A zárójelek használata, a    készség fejlesztése. 4a (A                                
mûveleti sorrend.            zsebszámológép célszerû                                   
                             használata.)                                              
Arányossági                  Egyenes és fordított         Egyenes arányosság esetén    
következtetések.  (Egyenes   arányosság felismerése       az ismeretlen mennyiség      
és fordított arányosság.)    gyakorlati jellegû           kiszámítása (az áru          
A százalék fogalma.          feladatokban. 1g Törtrész,   mennyisége és az ára         
                             illetve törtrészbõl az       közötti összefüggés).        
                             egész kiszámítása. 1g,f                                   
Elemi számelméleti            Önálló problémameglátó       2-vel, 5-tel, 10-zel való   
ismeretek  (prím szám,       képesség fejlesztése         oszthatóság.                 
összetett szám)              oszthatósági feladatok                                    
elõkészítése változatos      segítségével, a fogalmak                                  
feladatokkal (2-vel,         tapasztalati megalapozása.                                
5-tel, 10-zel osztható       4h                                                        
számok halmazainak                                                                     
szemléltetése, osztó,                                                                  
többszörös, két szám                                                                   
legnagyobb közös                                                                       
osztójának, legkisebb                                                                  
közösének kiszámítása).                                                                
 Elsõfokú egyenletek,        Elsõfokú egyenletek,          Egész együtthatós,          
egyenlõtlenségek. Egyszerû   egyenlõtlenségek megoldása   két-három lépésben           
szöveges feladatok.          tervszerû próbálgatással,    megoldható elsõfokú          
                             következtetéssel,            egyenletek.                  
                             "lebontogatással", a két                                  
                             oldal egyenlõ                                             
                             változtatásával.  A                                       
                             mérlegelv elõkészítése. A                                 
                             megoldás ellenõrzése. 2b;                                 
                             4b                                                        

ÖSSZEFüGGéSEK, FüGGVéNYEK, SOROZATOK
Számegyenes, derékszögû             Helymeghatározás. 3d  A derékszögû                 
koordináta-rendszer.                                      koordináta-rendszer          
                                                          ismerete, ebben konkrét      
                                                          pontok ábrázolása, illetve   
                                                          leolvasása.                  
Változó mennyiségek          Adatpárok, mérési                                         
közötti kapcsolatok          eredmények táblázatba                                     
felismerése, lejegyzése,     rendezése, grafikon                                       
ábrázolása. Egyszerû         készítése, olvasása,                                      
függvények értelmezése,      értelmezése. (Koordináció                                 
vizsgálata grafikon          a természettudományos                                     
segítségével ().           tárgyakkal és a                                           
                             gyakorlattal, esetleg                                     
                             könyvtári foglalkozás                                     
                             bekapcsolásával.)  1c                                     
Sorozatok képzése és         Sorozat folytatása adott                                  
folytatása (konkrét          szabály szerint; néhány                                   
számtani, illetve mértani    elemével adott sorozathoz                                 
sorozatok).                  lehetséges szabályok                                      
                             keresése. 3a                                              

GEOMETRIA, MéRéS
A hosszúság, tömeg,          A mindennapi élethez         Szabvány mértékegységek és   
ûrtartalom, idõ, szög        kapcsolódó becslések,        átváltásuk.                  
mértékegységei.              számítások elvégzése. 4a                                  
Alakzatok síkban, térben:    Egyszerûbb geometriai        Egyszerû geometriai          
pont, egyenes, szakasz;      alakzatok és                 alakzatok felismerése        
párhuzamosság,               tulajdonságaik               konkrét feladatokban.        
merõlegesség; szög,          felismerése, használata.     Háromszögek, négyszögek      
szögfajták; háromszög,       4d  Adott alakzatok,         kerületének kiszámítása.     
négyszög és speciális        modellek építése kapcsán a                                
fajtái; kör és a körrel      legalapvetõbb fogalmak                                    
kapcsolatos fogalmak.        felismerése. 1e                                           
Távolság.  Sokszögek                                                                   
kerülete.  Testek építése.                                                             
 Terület, felszín,            E fogalom szemléletes       A terület és térfogat        
térfogat szemléletes         kialakulása. 2c              szabványos mértékegységei    
fogalma, mérése és                                        és átváltásuk. A négyzet     
mértékegységei.                                           és téglalap területe.  A     
                                                          kocka és téglatest           
                                                          felszíne és térfogata.       
A körzõ és a vonalzó         A geometriai                 Párhuzamos és merôleges      
használata.                  problémameglátó és           egyenesek elôállítása,       
                             -megoldó képesség            szakaszfelezés,              
                             elemeinek kialakítása. 2c    szögmásolás, szögfelezés.    
Egyszerû geometriai          Szimmetriák megfigyelése                                  
transzformációk (tengelyes   környezetünkben.                                          
tükrözés), szimmetrikus      Transzformációk,                                          
alakzatok.                   parkettázás, modellezés. 1d                               

VALóSZíNûSéG, STATISZTIKA
Valószínûségi kísérletek     Események megfigyelése:                                   
(kockadobás, pénzfeldobás,   biztos, lehetséges,                                       
urnából húzás).              lehetetlen események                                      
                             kiválasztása. 2d                                          
Tapasztalatszerzés adatok    Adatok rendszerezése,        Az átlag kiszámítása         
gyûjtésével grafikonok       elemzése, értelmezése,       néhány elem esetén.          
olvasásában.                 ábrázolása;  a                                            
                             statisztikai zsebkönyv                                    
                             használata. 2a; 3d; 4f                                    

GONDOLKODáSI MóDSZEREK
A matematikai bizonyítás     Szabályszerûségek                                         
elõkészítése: sejtések,      észrevételezése konkrét                                   
kísérletezés, módszeres      esetekben, ellenpéldák a                                  
próbálkozás, cáfolás.        cáfolásban. 3B; 4G                                        
Néhány nevezetes             Egy-egy matematikus                                       
megoldatlan probléma.        (Bolyai J.)  életmûvének                                  
Matematikatörténeti          megismerése lexikonok és                                  
érdekességek. (A             egyéb dokumentumok                                        
tananyagban elõforduló       segítségével. 4F,H                                        
nagy matematikusok, a                                                                  
magyarországi matematika                                                               
legnagyobb mûvelõi.)                                                                   
Az "és", "vagy", "ha...,     A nyelv logikai elemeinek                                 
akkor", "nem", "van          használata.  Képesség                                     
olyan", "minden"             egyszerû állítások                                        
kifejezések jelentése.       igazságának eldöntésére. 1F                               
Fogalmak, állítások                                                                    
logikai kapcsolata.                                                                    
A szaknyelv - életkornak     Egyszerû szöveges                                         
megfelelõ - használata,      feladatok értelmezése,                                    
matematikai szövegek         megoldási terv készítése,                                 
elemzése megfelelõ           a feladat megoldása és                                    
matematikai forrásmunkák     szöveg alapján történõ                                    
segítségével.                ellenõrzése. 2A; 4B                                       
Konkrét példák halmazokra.   Tulajdonságaikkal megadott                                
Részhalmaz, kiegészítõ       konkrét halmazok elemeinek                                
halmaz, unió, metszet,       megadása, szemléltetése, a                                
különbség.                   matematika különbözõ                                      
                             területein a felsorolt                                    
                             halmazmûveletek                                           
                             alkalmazása. 3C                                           
Változatos kombinatorikai    Tapasztalatszerzés az                                     
feladatok megoldása          összes eset rendszerezett                                 
különféle módszerekkel.      felsorolásában, konkrét                                   
Sorbarendezés, kiválasztás   feladatokban  (fadiagram-,                                
4-5 elem esetén.             útdiagram-,                                               
                             táblázatkészítés). 3E                                     

SZáMTAN, ALGEBRA
A racionális szám fogalma.   Az eredmény becslése, a      Alapmûveletek végzése a      
Kerekítések, közelítõ        számítások megtervezése.     racionális számkörben        
értékek. Mûveletfogalom.     Biztos készség az            (közönséges és tizedes       
                             alapmûveletekben.  A         törtekkel).                  
                             zsebszámológépek                                          
                             használata gyakorlati                                     
                             számításokban. 1B;4A                                      
A pozitív egész kitevõjû     A pozitív egész kitevõjû     10 pozitív egész kitevõjû    
hatványozás.  A              hatvány alkalmazása          hatványai, 10-nél nagyobb    
négyzetgyök fogalma.         konkrét számok               számok normálalakja.         
                             prímtényezõs                                              
                             felbontásában.  Számok                                    
                             négyzetgyökének                                           
                             meghatározása                                             
                             zsebszámológéppel. 1A,B                                   
  Aránypár, arányos osztás.  A mindennapi életben         Egyenes és fordított         
                             felmerülõ arányossági,       arányosság felismerése és    
                             százalék- és                 alkalmazása egyszerû,        
                             kamatszámítási feladatok.    konkrét feladatokban.        
                             A következtetési képesség    Egyszerû százalék- és        
                             fejlesztése. 1G; 2B          kamatszámítási feladatok.    
Prímtényezõs felbontás       A matematika iránti          Osztó, többszörös. Két       
(hatvány alakban). Relatív   érdeklõdés felkeltése az     szám legnagyobb közös        
prímek. Egyszerû             elemi számelmélet            osztójának, legkisebb        
oszthatósági szabályok       legalapvetõbb fogalmaival    közös többszörösének         
(4-gyel, 25-tel, 100-zal,    és eljárásaival,             kiszámítása.                 
3-mal; 9-cel).               matematikatörténeti                                       
                             vonatkozásokkal.  3F; 4H                                  
 Egyenlet, egyenlõtlenség,   Az egyenletek,               Elsõfokú egyismeretlenes     
alaphalmaz,                  egyenlõtlenségek             egyenletek megoldása. Igen   
megoldáshalmaz.              megoldásában a mérlegelv     egyszerû szöveges            
Egyenletek,                  tudatos alkalmazása.         feladatok.                   
egyenlõtlenségek             Szöveges feladatok                                        
átalakításai. Egyszerû       egyenlettel, illetve                                      
szöveges feladatok           következtetéssel való                                     
(keverési, mozgási           megoldása.  A megoldás                                    
feladatok).                  létezése. Ellenõrzés. 2B;                                 
                             4A,B                                                      
Algebrai egész kifejezések   Gyakorlottság algebrai                                    
helyettesítési értéke,       kifejezések                                               
átalakítása.                 összevonásában, többtagú                                  
                             kifejezés számmal való                                    
                             szorzásában. 4D                                           

ÖSSZEFüGGéSEK, FüGGVéNYEK, SOROZATOK
Ábrázolás derékszögû         Készség szinten tudjon       Derékszögû                   
koordináta-rendszerben.      pontot ábrázolni, illetve    koordináta-rendszer.         
                             pont koordinátáit                                         
                             leolvasni. 3D                                             
Változó mennyiségek          Táblázat és grafikon           függvény és ábrázolása    
közötti kapcsolatok.         készítése  a felsorolt       (konkrét a és b esetén).     
Függvények és ábrázolásuk    konkrét függvényekhez.                                    
a derékszögû                 Elsõfokú egyismeretlenes                                  
koordináta-rendszerben      egyenlet, egyenlõtlenség                                  
                             grafikus megoldása. 1C                                    
 Sorozatok vizsgálata        Sorozat "folytatása" adott                                
(egyszerû számtani és        szabály szerint.  Néhány                                  
mértani sorozatok).          tagjával adott egyszerû                                   
                             sorozathoz szabályok                                      
                             keresése. 3A-B                                            

GEOMETRIA
A használatos                A gyakorlati élethez, a      Hosszúság, tömeg,            
mértékegységek.              természettudományi és        ûrtartalom, idõ mérése és    
                             szakmai tárgyakhoz           szabványos mértékegységei.   
                             kapcsolódó mérések           Szögmérés fokban.            
                             végzése, mértékegységek                                   
                             átváltása. 1G;2C                                          
Szabályos sokszögek.         Geometriai alakzatok         Speciális négyszögek.        
Egyenes hasáb, henger,       felismerése,                 Szakaszfelezõ merõleges,     
gúla, kúp, gömb. Adott       tulajdonságaik vizsgálata.   szögfelezõ mint adott        
feltételnek eleget tevõ      A tanult testek hálójának    tulajdonságú ponthalmaz.     
ponthalmazok keresése        felvázolása. 1E                                           
síkban.                                                                                
A kerület-, terület-,        Képesség a tanult            Háromszögek és négyszögek    
felszín- és                  kerület-, terület-,          területe.  Az egyenes        
térfogatszámítással          felszín- és                  hasáb felszíne és            
kapcsolatos                  térfogat-számítási           térfogata.  A terület és a   
ismeretrendszer bõvítése.    képletek alkalmazására.  A   térfogat szabványos          
A kör kerületének és         megfelelõ mértékegységek     mértékegységei.              
területének képlete. A       átváltása. 2C                                             
henger felszíne és                                                                     
térfogata.                                                                             
Szerkesztési feladatok       Gyakorlottság a körzõ és     Háromszög szerkesztése az    
(60deg.-os, 90deg.-os,       vonalzó használatában,       alapesetekben.               
45deg.-os szög               egyszerû szerkesztési                                     
szerkesztése).               feladatokban.                                             
                             Vázlatkészítés, a                                         
                             szerkesztés leírása. 4E                                   
Pont körüli elforgatás,      Egybevágósági                  Tengelyes és középpontos   
eltolás a síkban.            transzformációk              tükrözés (pont, illetve      
Tengelyes és középpontos     tulajdonságainak             egyszerû alakzat             
szimmetria.  Középpontos     felismerése.  Konkrét        tükörképének                 
hasonlóság.                  transzformációkhoz           megszerkesztése).            
                             kapcsolódóan a                                            
                             transzformációk                                           
                             végrehajtása.  A                                          
                             szimmetriák felismerése és                                
                             tulajdonságainak                                          
                             alkalmazása háromszögek és                                
                             négyszögek vizsgálatában.                                 
                             Középpontosan hasonló                                     
                             sokszögek szerkesztése. 1D                                
Szögpárok.                   A szögpárok és a             A háromszög és a négyszög    
                             szögösszeg alkalmazása       belsõ szögeinek összege.     
                             egyszerû feladatokban. 3A                                 
Vektorok.  Vektorok          Vektorok összegének és                                    
összeadása, kivonása.        különbségének                                             
                             megszerkesztése konkrét,                                  
                             gyakorlati jellegû                                        
                             feladatokban. 1G                                          
Pitagorasz tétele.           Az alakzatok egyes hiányzó   A Pitagorasz-tétel           
Változatos számításos        adatainak meghatározása a    ismerete (bizonyítás         
feladatok a geometria        tanult összefüggések         nélkül).                     
különbözõ témaköreiben.      alapján. 4D                                               

VALóSZíNûSéG, STATISZTIKA
Valószínûségi kísérletek.    Tapasztalatszerzés                                        
Gyakoriság, relatív          események megfigyelésében,                                
gyakoriság (kockadobás,      a relatív gyakoriság                                      
pénzfeldobás).               meghatározásában, az                                      
                             esemény valószínûségének                                  
                             becslésében. 2D                                           
Adatok gyûjtése,             Adatok elemzése,             Grafikonok olvasása.         
rendszerezése, adatsokaság   értelmezése.  Grafikonok                                  
szemléltetése (a             készítése. 1G; 4F                                         
könyvtárban is).                                                                       

GONDOLKODáSI MóDSZEREK
Mi a definíció? Mi a         Értelmezõ szótár,                                         
bizonyítás?  Áttekintés      szaklexikon használata. 4F                                
arról, hogy mivel                                                                      
foglalkozik a matematika.                                                              
 "Akkor és csak akkor";      Összefüggések, sejtések                                   
tétel és megfordítása;       tudatos megfogalmazása.                                   
jellegzetes                  Példák jellegzetes                                        
gondolatmenetek a            gondolatmenetekre: a                                      
matematikában.               lehetetlen eset kizárása;                                 
                             a skatulyaelv alkalmazása;                                
                             egyszerû                                                  
                             esetszétválasztások. 2B;                                  
                             3A-B                                                      
Az életkornak megfelelõ      Törekvés a megértett         Egyszerû konkrét szöveges    
matematikai szöveg értõ      fogalmak, összefüggések      feladatok megértése, a       
elemzése.                    szabatos megfogalmazására.   feltételek és a kérdés       
                             4C,D,F                       szétválasztása.              
Változatos kombinatorikai        Gyakorlottság az összes  Konkrét tárgyak, dolgok,     
feladatok. Fadiagram,                 eset rendszerezett  fogalmak szétválasztása      
útdiagram, táblázat                      felsorolásában,  adott tulajdonság alapján.   
készítése; az ún.                     áttekintésében. 3E  Ennek szemléltetése          
"szorzási szabály".                                       halmazábrán. Néhány elem     
                                                          összes lehetséges            
                                                          sorrendjének elõállítása.    

SZáMTAN, ALGEBRA
Példák irracionális          A számok és az egyenes       A zsebszámológép biztos      
számokra; a valós számok     pontjai közötti              használata a matematikai     
szemléletes fogalma,         megfelelés. 1A               feladatok megoldásában és    
kapcsolatuk a számegyenes                                 a gyakorlati életben         
pontjaival.                                               szükséges számolásokban.     
A hatványozás azonosságai;             Az egész kitevõjû  A számok normálalakjának     
a hatványozás                  hatványozás fogalmának és  biztos ismerete.             
kiterjesztése 0 és negatív                 a hatványozás                               
egész kitevõre; számolás                  azonosságainak                               
normálalakkal.                           alkalmazása. 1B                               
Konkrét példák kamat- és     A gyakorlati életben         Egyszerû kamatszámítási      
kamatoskamat kiszámítására   fellépõ kamatszámítás. 1G    feladatok megoldása.         
(betétek, kölcsönök).                                                                  
  Elsõfokú kétismeretlenes   Az elsõfokú egyenletek,      Elsõfokú egyismeretlenes     
egyenletrendszerek.          egyenlõtlenségek,            egyenletek,                  
Másodfokú egyenletek.        másodfokú egyenletek,        egyenlõtlenségek biztos      
                             kétismeretlenes              megoldása; egyszerûbb        
                             egyenletrendszerek           szöveges feladatok           
                             átalakítási szabályainak     megoldása egyenlettel.       
                             ismerete, alkalmazása.                                    
                             Gyakorlottság szöveges                                    
                             feladatok egyenlettel,                                    
                             egyenletrendszerrel                                       
                             történõ megoldásában. 2A;                                 
                             3F                                                        
 Azonosságok; egyszerû        Zárójelek felbontása                                     
algebrai törtkifejezések     összeadást, kivonást és                                   
átalakítása.                 szorzást tartalmazó                                       
                             algebrai kifejezésekben.                                  
                             Egyszerû esetekben                                        
                             szorzattá alakítás                                        
                             kiemeléssel. Fizikai,                                     
                             kémiai képletekben                                        
                             elõforduló egyes változók                                 
                             kifejezése. 2B; 3E; 4D                                    

ÖSSZEFüGGéSEK, FüGGVéNYEK, SOROZATOK
A függvénnyel kapcsolatos    A másodfokú függvény          ismerete.                  
fogalom- és                  ábrázolása és jellemzése.                                 
ismeretrendszer. Másodfokú   1C                                                        
függvények.                                                                            
y =  ax + b egyenlettel      Az  y = ax+b alakú           Konkrét a és b értékkel      
megadott egyenes. Egyszerû   egyenletben az a és a b      felírt y=ax+b egyenletû      
egy- és kétismeretlenes      számok jelentése, ennek      egyenes ábrázolása.          
algebrai állítások           alkalmazása.  Két egyenes                                 
igazsághalmaza a             metszéspontjának                                          
koordináta-síkon  ( ).      meghatározása; egyenesek                                  
Kétismeretlenes elsõfokú     párhuzamossága. 2B; 3E                                    
egyenletrendszer grafikus                                                              
megoldása.                                                                             
Szögfüggvények  (sin; cos;   A hegyesszögek                                            
tg; ctg).                    szögfüggvényeinek                                         
                             alkalmazása egyszerû                                      
                             esetekben,                                                
                             zsebszámológéppel is. 1C                                  

GEOMETRIA
A forgásszögek fogalma, a                                                              
hozzárendelt mérték.                                                                   
Thalész-tétel; a kör         Több feltételnek eleget                                   
érintõjének                  tevõ pontok keresése. 3A                                  
megszerkesztése. A                                                                     
háromszögbe és a háromszög                                                             
köré írt kör.                                                                          
A gúla, a kúp, a gömb        Gyakorlati jellegû           A terület és térfogat        
felszínének  és              feladatok térfogat- és       mértékegységeinek biztos     
térfogatának  a képlete.     felszínszámításra. 1G; 4C    ismerete.                    
Az euklideszi                Háromszögekkel és                                         
szerkesztések.               négyszögekkel kapcsolatos                                 
                             szerkesztési feladatok.                                   
                             3F; 4E                                                    
A geometriai                  Egybevágóság és              A hasonlóság fogalmának     
transzformáció fogalma; az   hasonlóság alkalmazása.  1D  gyakorlati alkalmazásai      
egybevágóság fogalmának                                   (egyszerû tervrajzok         
mélyítése;                                                olvasása).                   
forgásszimmetria.  A                                                                   
háromszögek hasonlóságának                                                             
alapesetei.  Hasonló                                                                   
síkidomok területének                                                                  
aránya.                                                                                
Vektorok számmal való        Vektorok számszorosának                                   
szorzása.  Vektorfelbontás   megszerkesztése;                                          
síkban.                      alkalmazása.1B;1 G                                        
A szögfüggvények             Geometriai és fizikai                                     
alkalmazása a derékszögû     alkalmazások.  1E; 1G                                     
háromszögben.                                                                          

VALóSZíNûSéG, STATISZTIKA
A valószínûség szemléletes   A valószínûség becslése és                                
fogalma.                     kiszámítása konkrét,                                      
                             egyszerû esetekben.                                       
                             Sejtések megfogalmazása.                                  
                             2D;3B